第 5 阶段 · 第 23 章 · 理论

23. 机械臂数学基础与坐标系

本章节介绍的内容属于传统控制，即通过"死编程"来控制机械臂。传统控制应用在绝大多数已落地的项目中。它的好处是稳定可靠，在工业生产场景中，这点尤为可贵 。它的不足之处就是在一个新场景中，需要重新调试，才能稳定运行。在本章节，将着重介绍运动控制。建立运动学、手眼标定和视觉抓取所需的数学基础。

本章概览

本阶段需要的硬件

本阶段需要准备的硬件如下。全部阶段的完整清单见 第 3 章。

主控单元

硬件	购买	数量
Jetson Orin Nano Super 8G	🛒	1
reComputer Robotics J4012	🛒	1
NVIDIA Jetson AGX Thor 128G	🛒	1

另外还需要一台台式机或笔记本:Ubuntu 22.04、GTX 4080 以上(12G 显存以上)、16GB 以上内存。

本阶段

硬件	购买	数量
reBot Arm B601 DM/RS	🛒	1

教学目的

本章节介绍的内容属于传统控制，即通过"死编程"来控制机械臂。传统控制应用在绝大多数已落地的项目中。它的好处是稳定可靠，在工业生产场景中，这点尤为可贵 。它的不足之处就是在一个新场景中，需要重新调试，才能稳定运行。在本章节，将着重介绍运动控制。建立运动学、手眼标定和视觉抓取所需的数学基础。

向量与矩阵基础

在正逆运动学（下一章会讲）的计算中存在大量向量和矩阵，因此打好矩阵数理基础很重要。在实际控制中，我们并不需要亲自参与底层的运算，所以本章只是提供参考

世界坐标系和基坐标系

世界坐标系，可以理解为机械臂所处的环境的坐标系，基坐标系以机器人底座建立的坐标系。在rebot arm 的设计中，因为机器人底座是固定的，所以世界坐标系和基坐标系重合。

例如：机械臂放在桌子上，以机械臂底座中心为原点，桌面为 xy 平面，桌脚垂直方向为 z 轴方向，建立世界坐标系，坐标系遵守右手准则。而基坐标系也与世界坐标系重合。（常用笛卡尔坐标系）

机器人/视觉领域的 XYZ 三轴颜色约定（RGB = XYZ）

轴	颜色	英文
X	🔴 红	Red
Y	🟢 绿	Green
Z	🔵 蓝	Blue

关节空间坐标系和末端坐标系

关节空间坐标系是在机器人控制中最常用到的坐标系。它建立于机器人的关节上，机器人有多少关节，就有多少维度。

末端坐标系

• 原点：工具中心点

末端坐标系建立在机器人的末端上，另外还有工具坐标系。当我们需要让末端抵达某个位置，则需要关心末端坐标，如果末端上装了夹爪，则我们会关心夹爪的坐标。

一句话概括：世界坐标是人最直观理解的坐标系，而机器人依靠关节空间坐标系来改变末端夹爪的位置，所以我们需要通过世界坐标设置目标，而使用关节空间坐标系来实现机器人按照我们的想法运动。这其中的联系，就是坐标变换。

相机坐标系

相机坐标系和末端坐标系通常通过一个平移变化来获得。

• 原点：相机光心
• 约定：z 轴沿光轴向前，x 右、y 下（OpenCV 惯例；OpenGL/ROS 某些工具是 y 上）

坐标变换的矩阵表示

齐次表示把"线性变换 + 平移"统一成一个矩阵乘法，

非齐次下平移是矩阵之外的一次加法，没法跟旋转拼成单个矩阵。

平移变换

	非齐次	齐次
	$\mathbf{p}' = \mathbf{p} + \mathbf{t}$	$\mathbf{T} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & t_x \\0 & 1 & 0 & t_y \\0 & 0 & 1 & t_z \\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} t_x \\ t_y \\ t_z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ z + t_z \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & t_x \\0 & 1 & 0 & t_y \\0 & 0 & 1 & t_z \\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x + t_x \\y + t_y \\z + t_z \\1\end{pmatrix}$

旋转变换

	非齐次	齐次
X 轴	$R_x(\theta) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & \cos\theta & -\sin\theta \\0 & \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$	$R_x(\theta) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
Y 轴	$R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\-\sin\theta & 0 & \cos\theta\end{pmatrix}$	$R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\-\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
Z 轴	$R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\\sin\theta & \cos\theta & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$	$R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

欧拉角和四元数

欧拉角和四元数对比

• 欧拉角：3 个数，直观，有万向锁
• 四元数：4 个数（1 个约束），不直观，没万向锁

工程上：给人看用欧拉角，给机器算用四元数。