Etapa 5 · Capítulo 23 · Teoría

23. Fundamentos Matemáticos del Brazo Robótico y Sistemas de Coordenadas

Capítulo 23 del Curso de Introducción a la IA Física de Seeed: marcos de coordenadas y transformaciones homogéneas: marcos mundo, base, articulación, efector final y cámara; vectores y matrices; matrices de traslación y rotación; encadenamiento de transformaciones; y ángulos de Euler frente a cuaterniones.

Objetivos de aprendizajeMarcos de coordenadasTransformaciones homogéneas

Hardware necesario para esta etapa

Qué preparar para esta etapa. La lista completa para cada etapa está en el Capítulo 3.

Unidad de control principal

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reComputer Robotics J4012	🛒	1
NVIDIA Jetson AGX Thor 128G	🛒	1

También se requiere un ordenador de sobremesa o portátil: Ubuntu 22.04, GTX 4080 o superior con 12GB+ de VRAM, 16GB+ de RAM.

Para esta etapa

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reBot Arm B601 DM/RS	🛒	1

Visión general

Dónde se sitúa esta etapa en el curso

El contenido introducido en estos capítulos pertenece al control tradicional, es decir, controlar el brazo robótico mediante programación codificada a mano. El control tradicional se utiliza en la gran mayoría de los proyectos desplegados. Su ventaja es la estabilidad y la fiabilidad, lo cual es especialmente valioso en escenarios de producción industrial. Su desventaja es que en un entorno nuevo requiere volver a ajustar antes de poder funcionar de forma estable.

Capítulo	Título	Tipo	Enfoque
23	Fundamentos Matemáticos del Brazo Robótico y Sistemas de Coordenadas	Teoría	Marcos, vectores, transformaciones homogéneas, representaciones de rotación
24	Cinemática Directa, Cinemática Inversa y el Jacobiano	Teoría	Cómo se conectan los ángulos articulares y la pose del efector final
25	Planificación de Trayectorias y Control del Brazo Robótico	Teoría	Trayectoria geométrica vs trayectoria temporal, interpolación, feedforward + feedback
26	Pinocchio y MeshCat	Práctica	Ejecutar CD / CI / planificación de trayectorias en el modelo real del reBot Arm

tip

Los capítulos 23–25 son material de referencia: en proyectos reales el URDF y la biblioteca de cinemática hacen el trabajo matricial por ti. Léelos una vez para entender qué significan los números, y luego consérvalos como referencia de consulta mientras trabajas en el Capítulo 26.

Por qué la etapa 5 viene después de la etapa 4. La etapa 3 y la etapa 4 enseñaron al brazo a imitar y a seguir el lenguaje. Esos sistemas son aprendidos: ven el mundo y actúan sobre él, pero no garantizan nada. En el momento en que necesitas una costura de soldadura recta, una sujeción repetible o una parada de emergencia segura, necesitas la capa determinista por debajo: las matemáticas y el control de movimiento de esta etapa. La imagen de arriba es el contraste en una sola imagen: un VLM describe el mundo, un VLA actúa sobre él, y todo lo que aprendes aquí decide cómo se ejecuta realmente la acción.

Aspecto	VLM (Vision-Language Model)	VLA (Vision-Language-Action Model)
Entrada	Imagen + pregunta	Imagen + instrucción de tarea (+ estado del robot)
Salida	Una descripción en texto	Una secuencia de acciones del robot
Propósito	Entender y describir	Entender y actuar
Modelos típicos	LLaVA, Qwen-VL	GR00T, pi0
Usado en	Percepción, anotación, depuración	Control de robots reales (Etapa 4)

23.1 Objetivos de Aprendizaje

Después de este capítulo deberías ser capaz de:

1. Explicar qué es un marco de coordenadas y por qué un brazo robótico necesita varios de ellos.
2. Nombrar el marco mundo, el marco base, el marco de espacio articular, el marco de efector final/herramienta y el marco de cámara, y decir a qué está unido cada uno.
3. Escribir una traslación y una rotación como una matriz de transformación homogénea 4x4, y multiplicar dos de ellas a mano.
4. Explicar por qué existen las coordenadas homogéneas y qué se pierde con la notación "no homogénea".
5. Decir cuándo usar ángulos de Euler y cuándo usar cuaterniones.

23.2 Conceptos Básicos de Vectores y Matrices

La cinemática directa e inversa (tratadas en el siguiente capítulo) implican una gran cantidad de vectores y matrices, por lo que es importante construir una base sólida en matrices. En el control real no necesitamos participar nosotros mismos en los cálculos de bajo nivel, así que este capítulo se proporciona solo como referencia.

• Un vector describe una magnitud con dirección y módulo: una posición, una velocidad, una fuerza.
• Una matriz describe una aplicación lineal: cómo un vector en un marco se convierte en un vector en otro marco.
• Los tres objetos usados en todas partes en robótica son el vector de posición 3x1 $\mathbf{p}$, la matriz de rotación 3x3 $R$, y la transformación homogénea 4x4 $T$.

Una comprobación útil de cordura para cualquier matriz de rotación $R$:

$$\begin{aligned} R^\top R &= I && \text{(ortonormal)} \\ \det(R) &= +1 && \text{(una rotación propia, sin espejado)} \end{aligned}$$

Microejemplo resuelto: leer una transformación 4x4

$$T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0.30 \\ 0 & 1 & 0 & 0.05 \\ -1 & 0 & 0 & 0.42 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{t} = \begin{pmatrix} 0.30 \\ 0.05 \\ 0.42 \end{pmatrix}$$

Lee las columnas de $R$ como los ejes del marco hijo expresados en el marco padre:

• x hijo = $[0,\ 0,\ -1]^\top$ -> apunta hacia abajo en el marco padre
• y hijo = $[0,\ 1,\ 0]^\top$ -> igual que el eje y del padre
• z hijo = $[1,\ 0,\ 0]^\top$ -> apunta a lo largo del eje x del padre

y lee $\mathbf{t}$ como el lugar donde se sitúa el origen del marco hijo. Eso es todo lo que es una transformación.

23.3 Marco Mundo y Marco Base

El marco mundo puede entenderse como el sistema de coordenadas del entorno en el que se encuentra el brazo robótico; el marco base se establece en la base del robot. En el diseño del brazo reBot, como la base del robot está fija, el marco mundo y el marco base coinciden.

Por ejemplo: el brazo se coloca sobre una mesa, con el centro de la base del brazo como origen, la superficie de la mesa como plano xy, y la dirección vertical de las patas de la mesa como eje z; el marco mundo sigue la regla de la mano derecha. El marco base también coincide con el marco mundo. (Marco cartesiano de uso común).

Convención de colores de los tres ejes XYZ en robótica/visión (RGB = XYZ)

Eje	Color	Nombre común
X	🔴 Rojo	Rojo
Y	🟢 Verde	Verde
Z	🔵 Azul	Azul

nota

Regla de la mano derecha: apunta +X a lo largo del dedo índice y +Y a lo largo del dedo corazón; el pulgar da +Z. Las rotaciones alrededor de +X, +Y, +Z son positivas en sentido antihorario cuando se mira hacia atrás a lo largo del eje hacia el origen. Todas las herramientas de robótica (RViz, MeshCat, SolidWorks, URDF) usan esta misma convención, por lo que vale la pena memorizar la correspondencia de colores RGB = XYZ.

23.4 Marco de Espacio Articular y Marco del Efector Final

El marco de espacio articular es el marco más utilizado en el control de robots. Se establece en las articulaciones del robot; el número de dimensiones es igual al número de articulaciones que tiene el robot.

El reBot B601 tiene seis articulaciones rotativas más una pinza, por lo que su marco de espacio articular es de 6 dimensiones (7 dimensiones si la pinza se lleva como un eje adicional).

Marco del efector final

• Origen: punto central de la herramienta (TCP)

El marco del efector final se establece en el extremo del robot; también hay un marco de herramienta. Cuando necesitamos que el extremo alcance una determinada posición, nos importa la coordenada del efector final; si en el extremo se monta una pinza, nos importa la coordenada de la pinza.

Marco	Unido a	Origen	Uso típico
Mundo $\{world\}$	El entorno	Un punto fijo en la mesa / celda	Coordenadas a nivel de tarea, trabajo con cámaras
Base $\{base\}$	La base del robot	Centro de la base	Raíz de la cadena cinemática
Articulación $\{j_i\}$	Articulación $i$	Eje de la articulación $i$	Cálculo interno de CD / CI
Brida	Salida de la última articulación	Centro de la brida	Donde se monta una herramienta
Herramienta / TCP	La propia herramienta	Punto central de la herramienta	Planificación de trayectorias, puntos de agarre

En una frase: el marco mundo es el marco que los humanos entendemos de forma más intuitiva, mientras que el robot se basa en el marco de espacio articular para cambiar la posición de la pinza final. Así que fijamos objetivos usando coordenadas del mundo, y usamos el marco de espacio articular para hacer que el robot se mueva como queremos. La conexión entre ellos es la transformación de coordenadas.

23.5 Marco de la Cámara

El marco de la cámara y el marco del efector final suelen obtenerse mediante una transformación de traslación.

• Origen: centro óptico de la cámara
• Convención: eje z hacia delante a lo largo del eje óptico, x hacia la derecha, y hacia abajo (convención de OpenCV; algunas herramientas de OpenGL/ROS usan y hacia arriba)

Convención	x	y	z	Mano derecha
OpenCV / visión	derecha	abajo	hacia adelante (en la escena)	sí
OpenGL / algunas herramientas ROS	derecha	arriba	hacia atrás	sí
ROS camera_optical_frame	derecha	abajo	hacia adelante	sí

aviso

Nunca mezcles silenciosamente las dos convenciones. Una cámara con "y hacia abajo" y una cámara con "y hacia arriba" difieren en una rotación de 180° alrededor de x, y una calibración mano-ojo calculada con una convención enviará el efector final al lado equivocado del objeto cuando se use con la otra.

Dónde aparece el marco de la cámara en una canalización de agarre visual:

$$\begin{aligned} \text{píxel } (u, v) &\ \xrightarrow{\ \text{intrínsecos } K\ } \text{marco de la cámara} \\ &\ \xrightarrow{\ \text{mano-ojo } T_{\text{cam}\to\text{tcp}}\ } \text{marco del efector final} \\ &\ \xrightarrow{\ \text{FK}\ } \text{marco base} \\ &\ \xrightarrow{\ \text{IK}\ } \text{ángulos articulares} \end{aligned}$$

23.6 Representación matricial de las transformaciones de coordenadas

La representación homogénea unifica "transformación lineal + traslación" en una sola multiplicación matricial.

En la representación no homogénea, la traslación es una suma fuera de la matriz y no puede combinarse con la rotación en una sola matriz.

Transformación homogénea general

$$T = \begin{pmatrix} R & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{pmatrix}, \qquad R:\ 3\times3 \text{ rotación (orientación)}, \qquad \mathbf{t}:\ 3\times1 \text{ traslación (posición)}$$

Transformación de traslación

$$\mathbf{p}' = \mathbf{p} + \mathbf{t} \qquad \mathbf{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Escrita completamente, no homogénea a la izquierda y homogénea a la derecha:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_x \\ t_y \\ t_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ z + t_z \end{pmatrix} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix] x + t_x \\ y + t_y \\ z + t_z \\ 1 \end{pmatrix}

Transformación de rotación

Las tres matrices de rotación elementales. Escribir $c = \cos\theta$ y $s = \sin\theta$ mantiene las matrices legibles; expándelas sustituyendo de nuevo cuando las calcules a mano.

$$R_x(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c & -s \\ 0 & s & c \end{pmatrix} \qquad R_y(\theta) = \begin{pmatrix} c & 0 & s \\ 0 & 1 & 0 \\ -s & 0 & c \end{pmatrix} \qquad R_z(\theta) = \begin{pmatrix} c & -s & 0 \\ s & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

La versión homogénea de cada rotación mantiene el mismo bloque 3x3 con una columna de traslación cero, así que una matriz de rotación $R$ se convierte en

$$\begin{pmatrix} R & \mathbf{0} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{pmatrix} \qquad\text{p. ej.}\qquad R_z(\theta) = \begin{pmatrix} c & -s & 0 & 0 \\ s & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Eje	No homogénea	Homogénea
Eje X	$R_x(\theta)$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c & -s & 0 \\ 0 & s & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Eje Y	$R_y(\theta)$	$\begin{pmatrix} c & 0 & s & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -s & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Eje Z	$R_z(\theta)$	$\begin{pmatrix} c & -s & 0 & 0 \\ s & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

nota

Por qué la fila inferior es $[0\ 0\ 0\ 1]$. No tiene significado físico; existe para que el producto matricial de dos transformaciones sea de nuevo una transformación, y para que un punto $(x, y, z, 1)$ y una dirección $(x, y, z, 0)$ puedan ser transformados por la misma matriz: la dirección ignora la traslación, el punto no.

Composición de transformaciones — encadenar es simplemente multiplicación de matrices, y la inversa es barata:

$$\begin{aligned} T_a^c &= T_a^b \, T_b^c && \text{composición (regla de la cadena)} \\ \left( T_a^b \right)^{-1} = T_b^a &= \begin{pmatrix} R^\top & -R^\top \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{pmatrix} && (R^\top \text{ en lugar de una inversión } 3\times3) \end{aligned}$$

23.7 Ángulos de Euler y cuaterniones

Ángulos de Euler vs. cuaterniones

• Ángulos de Euler: 3 números, intuitivos, tienen bloqueo de cardán
• Cuaterniones: 4 números (1 restricción), no intuitivos, sin bloqueo de cardán

Aspecto	Ángulos de Euler (roll/pitch/yaw)	Cuaternión
Números	3	4, con la restricción $w^2+x^2+y^2+z^2 = 1$
Intuitivo	Sí, fácil de leer y registrar	No
Singularidad	Bloqueo de cardán cuando el ángulo intermedio alcanza +/-90°	Ninguna
Interpolación	Mala (saltos, multivaluada)	Buena (slerp)
Riesgo de convención	24 convenciones diferentes (orden, intrínseca/extrínseca)	Única convención (solo ambigüedad de signo)
Uso típico	Entrada humana, archivos de configuración, registros	Cálculo interno, mensajes ROS, estimación de estado

En ingeniería: usa ángulos de Euler para humanos, cuaterniones para la máquina.

tip

En el reBot Arm esto aparece de forma concreta: MeshCat y Pinocchio piensan en matrices de rotación y objetos SE(3), mientras tú escribes roll/pitch/yaw en grados en la terminal. Las demostraciones del Capítulo 26 convierten entre ambos por ti (rpyToMatrix, matrixToRpy).

• Un marco son tres ejes más un origen; el brazo necesita al menos marcos de mundo, base, articulación, herramienta y cámara.
• $\{world\} = \{base\}$ en el reBot Arm porque la base está atornillada.
• Una transformación homogénea empaqueta rotación y traslación en una sola matriz 4x4; encadenar es multiplicar.
• Ángulos de Euler para humanos, cuaterniones para la máquina.
• Próximo capítulo: usar estas transformaciones para calcular la pose del efector final a partir de los ángulos articulares — y viceversa.