Etapa 5 · Capítulo 24 · Teoría

24. Cinemática directa, cinemática inversa y el Jacobiano

Capítulo 24 del Curso de Introducción a la IA Física de Seeed: espacio articular frente a espacio cartesiano, cinemática directa a partir de parámetros DH y URDF, cinemática inversa y sus soluciones múltiples o inexistentes, el Jacobiano y la cinemática de velocidades, singularidades y mínimos cuadrados amortiguados, y CI analítica frente a numérica.

Articular vs cartesianoCinemática directaCinemática inversaJacobiano

24.1 Temas principales

• Espacio articular vs. espacio cartesiano
• Cinemática directa (FK)
• Cinemática inversa (IK)
• Múltiples soluciones, sin solución y espacio de trabajo
• Límites articulares
• Matriz Jacobiana
• Cinemática de velocidades
• Singularidades
• CI numérica y CI en lazo cerrado

24.2 Objetivos de aprendizaje

Explicar cómo el brazo calcula la pose del efector final a partir de los ángulos articulares, y cómo resolver los ángulos articulares dada una pose objetivo.

24.3 Espacio articular vs. espacio cartesiano

	Espacio articular	Espacio cartesiano
Descripción	Ángulos articulares $(q_1, q_2, \ldots, q_n)$	Pose del efector final $(x, y, z, rx, ry, rz)$
Dimensión	n (número de articulaciones)	6 (3 de posición + 3 de orientación)
Significado físico	Cómo giran los motores	Dónde está el extremo y hacia dónde apunta
Trayectoria del movimiento	Velocidad articular constante -> curva irregular del efector final	Trayectoria recta/arco del extremo -> movimiento articular no lineal
Dificultad de control	Directo (se envía a los motores)	Indirecto (primero hay que resolver la CI para los ángulos, luego enviar a los motores)
Usos típicos	Movimiento libre, evitación de obstáculos, homing	Agarre, soldadura, pintura, seguimiento de trayectorias

Ejemplo 1: robot que escribe

Tarea	Qué espacio
Girar el motor 1 en 30°, el motor 2 en 45°	Espacio articular (enviar ángulos directamente)
Hacer que la punta del bolígrafo trace los trazos de un carácter en líneas rectas	Espacio cartesiano (calcular ángulos articulares para cada punto)

Ejemplo 2: coger una taza (ignorando la trayectoria)

Fase	Qué espacio
Mover desde home hasta cerca de la taza	Espacio articular (simple, velocidad constante, seguro)
Últos pocos centímetros para alinearse con precisión con el borde de la taza	Espacio cartesiano (debe aproximarse en XYZ)
Levantarla y colocarla en la estantería	Espacio articular (no se requiere trayectoria en línea recta)

Ejemplo 3: soldar un coche

Tarea	Qué espacio
La antorcha de soldadura sigue la junta en línea recta	Espacio cartesiano (línea recta = junta de soldadura)
Levantar la antorcha y moverla al siguiente punto	Espacio articular (lo que importa es ir rápido)

24.4 Cinemática directa vs. cinemática inversa

	Cinemática directa (FK)	Cinemática inversa (IK)
Conocido	Ángulos articulares	Pose del efector final
Resolver	Pose del efector final	Ángulos articulares
Dirección	Articulaciones -> efector final	Efector final -> articulaciones
Solución	Única	Múltiples / ninguna
Cálculo	Simple (aplicar fórmulas directamente)	Complejo (resolver ecuaciones / iterar)

Para qué se usa la FK

• Visualización: representar los ángulos articulares en vivo como un modelo 3D (ROS RViz, personajes de juegos)
• Verificación: comprobar si la pose del efector final calculada es correcta
• Calibración: comparar la pose teórica con la pose real
• Control sencillo: moverse siguiendo una secuencia de ángulos predefinida

Para qué se usa la IK

• Agarre: la cámara ve el objeto -> se resuelven los ángulos articulares -> se controla el brazo
• Soldadura/pintura: el extremo debe seguir una trayectoria especificada
• Humanoide: los pies deben aterrizar en puntos de suelo especificados
• Cualquier escenario de "ir a un lugar"

24.5 Cinemática directa

El proceso de calcular la pose del efector final a partir de los ángulos articulares

Versión en una frase

Multiplicar la transformación local de cada articulación en secuencia, desde la base hasta el efector final.

$$T_{base}^{end} = T_{base}^{link_1} \cdot T_{link_1}^{link_2} \cdots T_{link_{n-1}}^{link_n} \cdot T_{link_n}^{tcp}$$

Pasos de cálculo (6 pasos)

1. Establecer los marcos de los eslabones: construir un marco local en cada articulación (parámetros DH / URDF)
2. Escribir la matriz de transformación de cada eslabón $T_i^{i+1}$ (traslación + rotación respecto a la articulación anterior)
3. Sustituir los ángulos articulares $q_i$ (la rotación usa $\theta_i$, la traslación viene de la tabla DH)
4. Multiplicar en secuencia $T_1^2 \cdot T_2^3 \cdot \ldots \cdot T_n^{n+1}$
5. Multiplicar por el desplazamiento de la herramienta $T_{flange}^{tcp}$
6. Obtener $T_{base}^{end}$ — que contiene posición $(x,y,z)$ y orientación ($R$ o $q$ o ángulos de Euler)

Conceptos relacionados en un solo diagrama

Joint angles (q)
   |
DH params / URDF  ← describe link geometry (a, alpha, d, theta)
   |
Homogeneous transform (4x4)  ← translation + rotation combined
   |
   +-- rotation matrix R (3x3, SO(3))
   |      +-- rotation representation: Euler / quaternion / axis-angle
   +-- translation vector t (3x1)
   |
Matrix chain multiplication (chain rule)
   |
End-effector pose T_base^end (SE(3))
   |
   +-- position (x, y, z)  ← FK output
   +-- orientation (R / q / rpy)  ← orientation representation
   |
Cartesian-space trajectory / Jacobian (velocity mapping)
   |
Visualization (RViz / simulation)

Lista de comprobación de conceptos clave

Concepto	Función
Parámetros DH	Codifican los $a, \alpha, d, \theta$ de cada eslabón como 4 números
Transformación homogénea	Empaqueta traslación + rotación en una matriz 4x4 para encadenar fácilmente
Regla de la cadena	La esencia de multiplicar muchas matrices
Representación de la rotación	Salida de la orientación como: ángulos de Euler / cuaternión / matriz de rotación
Trigonometría	La expansión de matrices es todo $\sin/\cos$
Jacobiano	La FK da la pose; J da la velocidad (usado al revés por la IK)
URDF	El archivo real de descripción del robot; fuente de los números de la FK

Un pequeño ejemplo (2 articulaciones)

$$\theta_1, \theta_2 = \text{ángulos articulares}, \qquad l_1, l_2 = \text{longitudes de los eslabones}$$$$T_1^2 = \begin{pmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 & 0 & l_1\cos\theta_1 \\ \sin\theta_1 & \cos\theta_1 & 0 & l_1\sin\theta_1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad T_2^3 = \begin{pmatrix} \cos\theta_2 & -\sin\theta_2 & 0 & l_2\cos\theta_2 \\ \sin\theta_2 & \cos\theta_2 & 0 & l_2\sin\theta_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$$$T_1^3 = T_1^2 \, T_2^3 \quad\Longrightarrow\quad \text{pose del efector final}$$

FK = descripción DH + matrices homogéneas + multiplicación en cadena, traduciendo "ángulos articulares" en "dónde está el extremo".

Imprescindible saber por el camino: DH, transformaciones 4x4, multiplicación de matrices, representaciones de rotación (Euler/cuaternión), URDF.

24.6 Cinemática inversa

El proceso de calcular los ángulos articulares a partir de la pose del efector final. En la práctica casi siempre se hace de forma numérica: en lugar de resolver la ecuación de la pose en un solo paso, el solucionador se aproxima gradualmente al objetivo.

Piensa en alcanzar un libro en una estantería: miras cuán lejos está todavía tu mano del libro, decides en qué dirección moverte, ajustas un poco tus articulaciones y repites hasta tocarlo. Un robot hace exactamente lo mismo.

El bucle — cada iteración hace tres cosas:

1. Mirar el error: cuán lejos está todavía el efector final de la pose objetivo
2. Inferir la dirección: cómo debe moverse cada articulación para reducir ese error
3. Dar un paso: mover las articulaciones una vez, luego volver al paso 1

Repetir hasta que el error sea lo suficientemente pequeño.

Por qué se usa tan ampliamente

• Universal: el mismo bucle sirve para 6 ejes, 7 ejes, manos y brazos tipo serpiente
• Sin fórmulas que derivar: es un programa, no una página de álgebra
• Precisión ajustable: ¿quieres más exactitud? Ejecuta más iteraciones

En la industria el lazo se cierra alrededor de las posiciones articulares medidas, de modo que el controlador sigue observando el error y corrigiendo incluso cuando el modelo es ligeramente erróneo. Esta versión de "mirar mientras se mueve" es CLIK (Closed-Loop IK), el estándar de facto en los brazos de fábrica.

En una frase: CI numérica = vigilar el error y acercarse al objetivo poco a poco — universal, efectiva y estable.

24.7 Matriz Jacobiana

El Jacobiano convierte "resolver la pose" en "resolver la velocidad".

La ecuación de la pose es no lineal y normalmente no tiene solución en forma cerrada:

$$f(q) = T_{target}$$

Al derivarla en el $q$ actual se obtiene el Jacobiano, y en primera aproximación el problema se vuelve lineal:

$$J(q) = \frac{\partial f}{\partial q}, \qquad v_{end} = J(q)\,\dot{q}, \qquad \Delta T \approx J(q)\,\Delta q, \qquad \dot{q} = J^{-1} v_{end}$$

El bucle iterativo

1. $q$ actual -> calcular la pose del efector final $T$
2. Error: $\Delta T = T_{target} - T$
3. Velocidad del efector final: $v = \Delta T / dt$
4. Velocidad articular: $\dot{q} = J^{-1} v$
5. Actualización: $q_{new} = q + \dot{q}\,dt$
6. Volver al 1, hasta que $\Delta T$ sea lo suficientemente pequeño

En una frase: el Jacobiano "aplana localmente" la ecuación de IK no lineal en una lineal; resolver la velocidad e integrarla converge a la pose objetivo.

24.8 Singularidades

En una singularidad el brazo pierde la capacidad de mover el efector final en una o más direcciones: sin importar cómo se muevan las articulaciones, el extremo no puede moverse en esa dirección.

• Brazo completamente extendido: no puede alcanzar más lejos; se pierde la dirección hacia afuera
• Dos articulaciones de muñeca colineales: dos ejes de rotación coinciden, por lo que desaparece un grado de libertad

Qué ocurre en una singularidad

Situación	Síntoma
El Jacobiano "falla"	El mapeo de articulaciones a extremo ya no se puede invertir
La solución de IK explota	La velocidad articular calculada tiende a infinito
Sacudidas en las articulaciones	Los motores vibran violentamente
Oscilación de control	El extremo salta de un lado a otro

Esencia: algunas entradas de ese mapeo se vuelven $0/0$ — indefinidas, no simplemente grandes.

Cómo detectarla — cuando el Jacobiano se degenera, un número tiende a cero:

$$\det J = 0, \qquad \sigma_{\min}(J) = 0, \qquad \operatorname{rank} J < n$$

Supervisa ese número y lanza una alarma cuando se acerque a cero.

Cómo manejarla

Solución	Idea
Mínimos cuadrados amortiguados (DLS)	Añadir algo de "fricción" para que la solución no pueda explotar: $\dot{q} = J^\top (J J^\top + \lambda^2 I)^{-1} v$
Cambiar la trayectoria	Planificar con antelación para evitar regiones singulares
Reducir la velocidad	Desacelerar cerca de una singularidad para darte tiempo de reacción
Cambiar la pose	Para la misma pose objetivo, elegir una solución no singular

Dos tipos de singularidades

• Frontera del espacio de trabajo: extendido hasta el punto más lejano; se pierden direcciones
• Interior del espacio de trabajo: muñeca colineal / codo recto; se reducen los grados de libertad

24.9 IK analítica vs. IK numérica

La IK analítica resuelve la ecuación directamente; la IK numérica itera hacia la respuesta. La misma tarea — calcular $25 \times 4$ — hecha de ambas formas:

	Analítica	Numérica
Idea	"×4 significa ×2 y luego ×2": calcular $25 \times 2 = 50$, luego $\times 2 = 100$	Adivinar 90, notar que falta 10, adivinar 102, luego 100 — ajustar hasta que coincida
Resultado	Un paso, exacto	Unas pocas iteraciones, suficientemente cercano

Diferencias clave

Dimensión	IK analítica	IK numérica
Enfoque	Resolver la ecuación directamente	Aproximación iterativa
Velocidad	La más rápida (microsegundos)	Más lenta (ms~s)
Precisión	Exacta	Aproximada (ajustable)
Generalidad	Pobre	Alta
Salida	Fórmula en forma cerrada	Resultado numérico

IK analítica — resuelve la ecuación de una vez por todas, y obtienes fórmulas como

$$\theta_1 = \operatorname{atan2}(\ldots), \qquad \theta_2 = \operatorname{acos}(\ldots), \qquad \vdots$$

Ventajas	Desventajas
Se calcula en una línea de código; sin error de iteración; puede listar todas las soluciones	No todos los robots tienen solución en forma cerrada; con muchas articulaciones y una estructura compleja la ecuación no se puede resolver; una vez que el robot cambia, cada fórmula debe reescribirse

IK numérica — sin fórmula alguna, solo repetir "doblar un poco las articulaciones, comprobar si el extremo se acercó, si no doblar un poco más" hasta que esté lo bastante cerca.

Ventajas	Desventajas
Funciona para cualquier robot; no hay ecuaciones que derivar; fácil de añadir restricciones	Lenta (necesita iteración); puede atascarse en una solución incorrecta; explota en singularidades

Escenarios de aplicación

Escenario	Elegir
2 articulaciones, 3 articulaciones, geometría especial	Analítica (rápida, exacta)
Brazo industrial estándar de 6 ejes	Cualquiera, depende del escenario
Brazo redundante de 7 ejes	Numérica (sin solución analítica)
Cerrado / paralelo	Numérica (la analítica es difícil de derivar)
Control en tiempo real (kHz)	Solución analítica o solución analítica generada offline
Servo visual (30 Hz)	Numérica

Puntos clave

• El espacio articular es lo que entienden los motores; el espacio cartesiano es lo que entiende la tarea.
• La FK es única, barata y siempre resoluble; la IK puede tener varias soluciones, una solución o ninguna.
• El Jacobiano convierte la velocidad articular en velocidad del efector final, y es cómo se resuelve realmente la IK.
• Las singularidades son poses donde el Jacobiano pierde rango; detéctalas (valor singular más pequeño) y amortígualas (DLS).
• Próximo capítulo: una vez que puedes producir una pose, aún tienes que llegar a ella de forma suave y segura.