Estágio 5 · Capítulo 25 · Teoria

25. Planejamento de Trajetória e Controle de Braço Robótico

Capítulo 25 do Curso para Iniciantes em IA Física da Seeed — caminho versus trajetória, interpolação em espaço de juntas e em espaço cartesiano, polinômios lineares, cúbicos e quínticos, e o comando de torque construído a partir de feedforward (modelo e gravidade) mais correção de erro por feedback.

Caminho vs trajetóriaInterpolaçãoFeedforward e feedback

25.1 Objetivos de Aprendizagem

Ajudar o usuário a entender como o braço gera um movimento contínuo, suave e seguro a partir de uma pose alvo.

Depois deste capítulo você deverá ser capaz de:

1. Separar um movimento em caminho (forma) e trajetória (temporalização), e dizer qual deles uma tarefa restringe.
2. Escolher entre interpolação em espaço de juntas e em espaço cartesiano.
3. Explicar a diferença entre interpolação linear, cúbica e quíntica, e por que o comportamento de partida/parada importa.
4. Explicar feedforward, feedback e compensação de gravidade, e como o comando de torque é composto.

25.2 Caminho vs. Trajetória

Imagine caminhar de casa até o escritório.

Caminho = a rota que você faz (forma)

Vire à esquerda ao sair pela porta, pegue a rua principal, atravesse a ponte, vire à direita, chegue ao escritório

Não importa quão rápido ou devagar você anda, essa rota permanece a mesma.

Trajetória = o ritmo em que você anda (tempo + velocidade)

Saia pela porta em 10 segundos, faça uma pausa na ponte por 1 minuto, espere no sinal vermelho embaixo por 30 segundos

Mesma estrada, andar rápido ou devagar é diferente.

Diferença central

Dimensão	Caminho	Trajetória
Descrição	Onde	Onde + quando
Domínio	Espaço	Espaço + tempo
Foco	Forma	Tempo, velocidade, aceleração
Exemplo	"Vá em linha reta de A até B"	"Vá de A até B a velocidade constante em 5 segundos"

Mapeamento no braço robótico

Tarefa	Caminho	Trajetória
Soldagem	Formato do cordão de solda	Velocidade de movimento ao longo do cordão
Apreensão	De A até a borda do copo	Quando chegar, por quanto tempo segurar
Pintura	Área a ser pintada	Velocidade de movimento do pulverizador

Ordem de planejamento:

1. Primeiro definir o caminho (forma)

2. Depois definir a trajetória (quando estar em cada lugar)

Um exemplo concreto

O braço move um copo do ponto A para o ponto B.

Caminho (apenas forma):

Erguer -> estender para frente -> abaixar

(uma curva espacial)

Trajetória (com tempo):

Erguer 1 s -> pausar 0,5 s -> estender 2 s -> abaixar 1 s

(ângulos de junta em cada instante)

O caminho pode estar certo enquanto a trajetória está errada (por exemplo, muito agressiva, o copo voa para fora); a trajetória estar certa exige que o caminho esteja certo primeiro (um caminho errado torna inútil uma trajetória precisa).

Por que discuti-los separadamente

Etapa	Foco
Planejamento de caminho	Evitar obstáculos, encontrar uma forma viável
Planejamento de trajetória	Tornar o movimento suave, sem trepidações ou excesso de velocidade

Caminho é um problema geométrico; trajetória é um problema de temporização.

A trajetória do braço deve ser "suave"

Não apenas "de A até B", mas também:

• Velocidade contínua (sem saltos súbitos para/de 0)
• Aceleração contínua (sem trancos bruscos)
• Dentro dos limites de velocidade do motor
• Dentro dos limites de torque

Tudo isso pertence ao planejamento de trajetória.

25.3 Trajetórias em Espaço de Juntas e em Espaço Cartesiano

Dimensão	Trajetória em espaço de juntas	Trajetória em espaço cartesiano
Objeto interpolado	Ângulos de junta	Pose do efetuador final
Função de interpolação	Polinômio	Linha / arco / geodésica
Propriedade de velocidade	Velocidade de junta constante	Velocidade constante do efetuador final

Portanto, "juntas vs. cartesiano" é discutido em ambos os níveis, mas o que mais se pergunta é no nível de caminho — porque isso é a chave para o braço "fazer coisas diferentes".

Por que o caminho recebe mais atenção

Tarefa	Qual caminho escolher	Motivo
Soldagem	Cartesiano (linha reta)	O cordão de solda é uma linha reta
Pintura	Cartesiano (curva específica)	A superfície a ser pintada deve ser coberta
Paletização	Qualquer um, espaço de juntas	O caminho da ponta não importa
Transporte livre	Espaço de juntas	Não é necessário se preocupar com o caminho da ponta
Colocar após pegar	Espaço de juntas	Sem exigência de linha reta

atenção

Uma trajetória em espaço cartesiano é a forma natural de descrever uma tarefa, mas é a forma cara de executá-la: cada pose amostrada precisa de uma solução de IK. Planeje em espaço cartesiano, depois verifique se a trajetória resultante em espaço de juntas respeita os limites das juntas e se mantém longe de singularidades — ou gere o caminho em espaço cartesiano e a temporização em espaço de juntas.

25.4 Interpolação Linear

Trajetória em espaço de juntas:

$$\theta(t) = \theta_{start} + (\theta_{end} - \theta_{start})\,t$$

A junta vai suavemente de 0° a 90°, assumindo um valor a cada 10% do caminho.

Trajetória em espaço de posição:

$$\mathbf{p}(t) = \mathbf{p}_{start} + (\mathbf{p}_{end} - \mathbf{p}_{start})\,t$$

A ponta se move em linha reta de $(0, 0, 0)$ até $(1, 0, 0)$; uma posição intermediária é $\mathbf{p}_{start} + s\,(\mathbf{p}_{end} - \mathbf{p}_{start})$, onde a razão $s$ vai de 0 a 1.

Prós e contras

O problema é o perfil de velocidade: a junta se move a uma velocidade constante, diferente de zero, e então para instantaneamente.

$$\dot{\theta}(t) = \frac{\theta_{end} - \theta_{start}}{T} \ne 0, \qquad \ddot{\theta}(t) = 0$$

Prós:

• Simples e fácil de calcular
• Feito em uma linha de código
• Alto desempenho em tempo real

Contras:

• Saltos de velocidade no início e no fim (ela não é zero nesses pontos)
• O braço "dá trancos" ao iniciar/parar
• Não é adequado para tarefas de alta precisão

O "tranco" de início/parada é o problema central — por isso trajetórias mais refinadas usam polinômios cúbicos/quintícos.

25.5 Interpolação Polinomial

Por que polinômios são necessários

Diferenças centrais

Dimensão	Linear	Cúbico	Quíntico
Velocidade de início/parada	Salto	0	0
Aceleração de início/parada	Salto	Salto	0
Suavidade	Ruim	Média	Boa
Carga de cálculo	Mínima	Média	Média
Melhor para	Movimento grosseiro	Uso geral	Alta precisão

Aplicações em braços robóticos

Cenário	Qual usar
Transporte grosseiro, paletização	Cúbico
Soldagem, montagem	Quíntico
Robôs colaborativos	Quíntico (devem ser estáveis perto de humanos)
Movimento em alta velocidade	Cúbico (suficiente)
Pesquisa / demonstração	Quíntico (mais suave)

$$\begin{aligned} \text{Linear:}\quad \theta(t) &= a_0 + a_1 t \\ \text{Cúbico:}\quad \theta(t) &= a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 \\ \text{Quíntico:}\quad \theta(t) &= a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 + a_4 t^4 + a_5 t^5 \end{aligned}$$

Quíntico com condições de contorno repouso-a-repouso — o braço começa em repouso e para em repouso:

$$\begin{aligned} \theta(0) &= 0, & \dot{\theta}(0) &= 0, & \ddot{\theta}(0) &= 0 \\ \theta(T) &= 90^\circ, & \dot{\theta}(T) &= 0, & \ddot{\theta}(T) &= 0 \end{aligned}$$

Seis condições, seis incógnitas $a_0, a_1, \ldots, a_5$ — uma solução única.

25.6 Feedforward, Feedback e Compensação de Gravidade

O torque enviado ao motor é a soma de duas coisas:

$$\tau_{cmd} = \underbrace{\tau_{feedforward}}_{\text{calculado com antecedência, incl. compensação de gravidade}} + \underbrace{\tau_{feedback}}_{\text{corrigido a partir do erro, conserta o que dá errado}}$$

Feedforward: enviar antecipadamente com base no modelo

Dada a trajetória e os parâmetros do braço, pode-se calcular quanto torque é necessário em cada instante:

O modelo contém	Finalidade
Termo de inércia	Vencer a inércia ao acelerar
Termo de Coriolis	Contrabalançar o acoplamento ao girar
Termo de gravidade	Presente mesmo quando o braço está parado; cancela diretamente a gravidade

O termo de gravidade é especialmente importante — o braço deve enviá-lo mesmo parado, caso contrário a gravidade o puxa para baixo.

Analogia: sabendo que hoje há uma subida de 5 km, aumentar o esforço com antecedência.

Feedback: corrigir quando algo está errado

Por mais preciso que seja o modelo, há erros e perturbações externas -> a posição real deriva.

Feedback é comparação em tempo real e correção em tempo real:

• O quão distante está -> adicionar essa quantidade (feedback de posição)
• Quão rápido está derivando -> amortecer nessa medida (feedback de velocidade)

Analogia: sabendo que hoje há uma subida, mas há buracos na estrada — desviar deles quando você os vê.

Como os dois trabalham juntos

Origem	Papel	Parcela (típica)
Feedforward	Maior parte do torque	80~95%
Feedback	Compensar pequenos erros	5~20%

Feedforward lida com a maior parte, feedback lida com o pequeno restante — juntos, eles são rápidos e precisos.

Comparação

Dimensão	Feedforward	Feedback
Tempo	Calcula com antecedência	Corrige em tempo real
Depende de	Precisão do modelo	Leituras dos sensores
Resposta	Imediata	Atrasa um quadro
Rejeição de perturbações	Fraca	Forte
Inclui	Inclui compensação da gravidade	Não inclui

Como é o controlador de fato

$$\begin{aligned} \tau_{cmd} &= \tau_{feedforward} + \tau_{feedback} \\ &= \underbrace{\big[ M(q)\,\ddot{q} + C(q, \dot{q})\,\dot{q} + G(q) \big]}_{\text{feedforward (incl. gravity)}} + \underbrace{\big[ K_p\,e + K_d\,\dot{e} \big]}_{\text{feedback}} \end{aligned}$$

A gravidade está dentro de feedforward — não há necessidade de calculá-la separadamente.

Em uma frase

Feedforward envia torque com antecedência com base no modelo (incluindo gravidade); feedback compensa em tempo real com base no erro; não é necessário mencionar a gravidade separadamente — ela é o subt termo em feedforward que deve ser calculado mesmo quando o braço está parado.

• Path = geometria, trajectory = temporização; planeje primeiro o caminho, depois a temporização.
• A interpolação no espaço de juntas é barata e livre de singularidades; a interpolação no espaço cartesiano é o que a tarefa normalmente exige.
• A interpolação linear dá trancos; a cúbica remove o salto de velocidade e a quíntica também remove o salto de aceleração.
• O comando de torque é feedforward (modelo + gravidade) mais feedback (correção de erro); a gravidade vive dentro de feedforward.
• Próximo capítulo: executar tudo isso no modelo real do reBot Arm com Pinocchio e MeshCat.